В качестве предисловия. Все знают, что монета имеет две стороны — орла и решку. Нумизматы считают, что монета имеет три стороны — аверс, реверс и гурт. И среди тех, и среди других, мало кто знает, что такое симметричная или математическая монета. Зато об этом знают (ну, или должны знать :), те, кто готовится сдавать ЕГЭ. В общем, в этой статье речь пойдёт о необычной монете, которая, к нумизматике никакого отношения не имеет, но, при этом, является самой популярной монетой среди школьников.
Итак. Симметричная монета — это воображаемая математически идеальная монета без размера, веса и диаметра. Как следствие, гурта у такой монеты тоже нет, то есть вот она-то действительно имеет только две стороны. Главное свойство симметричной монеты в том, что при таких условиях вероятность выпадения орла или решки абсолютно одинакова. А придумали симметричную математическую монету для проведения мысленных экспериментов.
Самая популярная задача с математической монетой звучит так — «В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды (трижды, четырежды и т.д.). Найдите вероятность того, что одна из сторон выпадет определённое количество раз.»
Решение задачи с симметричной монетой
В случайном эксперименте симметричную монету бросают один раз
Здесь всё просто. Выпадет либо орёл, либо решка. То есть, имеем два возможных исхода, один из которых нас удовлетворяет
— 1/2=50%
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды
За два броска могут выпасть:
- два орла
- две решки
- орёл, затем решка
- решка, затем орёл
Итак, возможны всего четыре варианта. Задачи с более, чем одним броском, проще всего решать составлением таблицы возможных вариантов. Для простоты, обозначим орла цифрой «0», а решку цифрой «1».
Тогда таблица возможных исходов будет выглядеть так:
00
01
10
11
Если, например, нужно найти вероятность того, что орёл выпадет один раз, требуется просто подсчитать количество подходящих вариантов в таблице — то есть тех строк, где орёл встречается один раз. Таких строк две (вторая и третья). Значит, вероятность выпадения одного орла в двух бросках симметричной монеты равна 2/4=50%
Вероятность того, что орёл в двух бросках выпадет дважды равна 1/4=25%, так как два орла встречаются в таблице один раз (первая строка).
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды
Составляем таблицу вариантов:
000
001
010
011
100
101
110
111
Те, кто знаком с двоичным исчислением, понимают, к чему мы пришли. 🙂 Да, это двоичные числа от «0» до «7». Так проще не запутаться с вариантами, поскольку строки таблицы вариантов представляют собой логическую последовательность.
Решим задачу из предыдущего пункта — вычислим вероятность того, что орёл выпадет один раз. Строк, где «0» встречается один раз имеется три. Значит, вероятность выпадения одного орла в трёх бросках симметричной монеты равна трём из восьми — 3/8=37,5%
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды тоже равна 3/8=37,5%, то есть абсолютно такая же.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 1/8=12,5%.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
В случайном эксперименте симметричную монету бросают … раз
Даже, если например, симметричную монету бросают 10 раз. Таблица получится очень большая, но составить её несложно. А в принципе и делать это самому необязательно, можно найти в интернете. Для подсчёта нулей и единиц тоже нет необходимости водить по бумаге или экрану карандашом — для этого можно использовать, например, Excel. Да, компьютер очень нужная вещь, если научиться им пользоваться. 🙂